【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是

ˆ

ABC

的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．

证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是

ˆ

ABC

的中点，
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①

相等的弧所对的弦相等

相等的弧所对的弦相等

，
②

同弧所对的圆周角相等

同弧所对的圆周角相等

，
③

有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等

有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等

；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=4，BC=6，点M是

ˆ

ABC

的中点，MD⊥BC于点D，则BD=

1

1

；
【变式探究】如图3，若点M是

ˆ

AC

的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半径为5，求AD长．