已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的顶点为M（1，-4），与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（Ⅰ）若点C（0，-3），求点A和点B的坐标；
（Ⅱ）将点A绕点B逆时针方向旋转90°，点A的对应点为A1，若A，A1两点关于点M中心对称，求点A1的坐标和抛物线解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥x轴，与BC相交于点D，过点P作PE∥y轴，与x轴相交于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（Ⅰ）点A、B的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）；
（Ⅱ）点A1的坐标为：（5，-8），抛物线的表达式为：y=x2-x-；
（Ⅲ）PD+PE的最大值为：，此时，点P（，-）．
（Ⅱ）点A1的坐标为：（5，-8），抛物线的表达式为：y=
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（Ⅲ）PD+PE的最大值为：
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【解答】
【点评】
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发布：2024/9/30 11:0:2组卷：280引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，-14）．直线y=kx52过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．-32
（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx-14的解析式；-32
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l,点P的横坐标为x,求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．发布：2025/6/24 4:0:1组卷：1022引用：58难度：0.5 -
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．发布：2025/6/24 4:0:1组卷：2568引用：63难度：0.5 -
3．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x2+mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；43
（3）已知函数y=-（x+1）（x-4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=-12（x+1）（x-4）互为“旋转函数．”12发布：2025/6/24 4:0:1组卷：2083引用：51难度：0.5
