在平面直角坐标系中，已知双曲线I：x24-y25=1，A，B分别为I的左，右顶点．
（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；
（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；
（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使MA+2MB=MN成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．
x
2
4
-
y
2
5
=
1
MA
MB
MN
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】（1）（x+2）2+y2=16；
（2）y=（x+2）；
（3）不存在，理由如下：
假设I上存在异于A、B点M、N，使+2=成立．
设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2=，
可得x2=2-2x1，y2=-2y1，
将M，N的坐标代入双曲线的方程可得-=1，
即-=1，又-=1，
解得x1=2，y1=0，与B重合，故不存在．
（2）y=
65
13
（3）不存在，理由如下：
假设I上存在异于A、B点M、N，使
MA
MB
MN
设M（x1，y1），N（x2，y2），由
MA
MB
MN
可得x2=2-2x1，y2=-2y1，
将M，N的坐标代入双曲线的方程可得
x
2
2
4
y
2
2
5
即
（
2
-
2
x
1
）
2
4
（
-
2
y
1
）
2
5
x
1
4
2
y
1
2
5
解得x1=2，y1=0，与B重合，故不存在．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：407引用：2难度：0.5
