综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
（1）【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q′，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．
根据以上信息，请填空：
①∠PDQ′=4545°；
②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为 AP+QC=PQAP+QC=PQ；
（2）【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC=2α，∠PDQ=α，AD=CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB=180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
（3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC=90°，AD=CD=62．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长．
AD
=
CD
=
6
2
【考点】四边形综合题．
【答案】45；AP+QC=PQ
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/10 8:0:8组卷：1168引用：8难度：0.3
相似题
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1．在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线AC、BD的交点．
（1）如图1，延长OC，使CE=OC，作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG．求证：DE=AG；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α（0＜α＜180°），得到正方形OE′F′G′，连接AE′、E′G′．
①当α=30°时，求点A到E′G′的距离；
②在旋转过程中，求△AE′G′面积的最小值，并求此时的旋转角α．
发布：2025/6/20 1:30:2组卷：540引用：3难度：0.2 -
2．问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图①证明上述结论
【类比引申】
如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=（40-40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．3
发布：2025/6/20 1:30:2组卷：859引用：2难度：0.2 -
3．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF；12
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF=∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．12
发布：2025/6/20 1:0:2组卷：1509引用：2难度：0.5
