如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，异面直线AD₁与A₁C₁所成角的大小为β，求证：tan²β=2tan²α+1；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为
4
3
，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高；
（3）在（2）的条件下，若正四棱柱侧面BB₁C₁C上存在点P满足P到线段BC的距离与到线段C₁D₁的距离相等，求
P
D
1
PA
的最小值．

【答案】（1）证明见解答；（2）2；
（3）

．

【解答】

【点评】

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