在学习了圆周角的定理及推论后，老师布置了这样一个思考题“如图1，△ABC内接于⊙O，弦BC的长与∠A的正弦值的比值等于直径．”同学们课下经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：
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证明：如图2，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD． ∵CD是⊙O直径， ∴ ∠DBC ∠DBC =90°．（ 直径所对的圆周角是直角 直径所对的圆周角是直角 ）∴ sin ∠ D = BC CD ˆ BC ˆ BC ∴∠D=∠A，（ 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角相等 ）∴ sin ∠ A = sin ∠ D = BC CD ∴ BC sin A = BC BC CD = BC ⋅ CD BC = CD |
（2）牛刀小试：如图3，在⊙O中，弦AB=3，P为弧AB上一点，∠P=135°，则⊙O的半径为
3
2
2
3
2
2
（3）拓展延伸：如图4，在⊙O中，弦AB=5，过点B作AB的垂线，在垂线上取一点C，过点C作AB的平行线交BC右侧的圆于点D，若BC=4，CD=8，求⊙O的面积．
【考点】圆的综合题．
【答案】∠DBC；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等；
3
2
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/15 11:0:11组卷：99引用：2难度：0.4
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1．如图，AB为⊙O的直径，点C在BA延长线上，点D在⊙O上，连接CD，AD，∠ADC=∠B，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若S△COF：S△CBD=9：16，求sinC的值．发布：2025/5/23 18:30:2组卷：300引用：1难度：0.4 -
2．如图1，小明在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B，A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC．完成下列任务：
（1）小明得出PC为⊙O的切线的依据是 ；
（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．
①求证：∠PCD=2∠BDC；
②若⊙O的半径为15，BE=6，求PC的长．发布：2025/5/23 20:0:1组卷：348引用：3难度：0.3 -
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，分别过A，C作AD∥BC，CD∥AB．
（1）求证：AD=BC；
（2）若AC=BC．
①求证：CD是⊙O的切线；
②已知AB=6cm,当四边形ABCD的某条边所在直线过圆心O时，求⊙O的半径．发布：2025/5/23 17:30:1组卷：150引用：2难度：0.1
