如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．点D为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）；（3）-2或-．
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【解答】
【点评】
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发布：2024/9/11 5:0:9组卷：358引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图，二次函数y=-x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a,0）和B（b,0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=-1，则b=4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2；10
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）发布：2025/5/25 6:30:1组卷：1200引用：3难度：0.7 -
2．如图所示，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，
（1）求cos∠CAO的值；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，求P点坐标．发布：2025/5/25 6:30:1组卷：64引用：2难度：0.3 -
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y=mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP=tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 6:30:1组卷：4281引用：12难度：0.3
