蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x
（i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S（x）；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值．
π
3
2
π
-
3
×
π
3
=
π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【答案】（1）2π；
（2）（i）；
（ii）．
（2）（i）
S
（
x
）
=
3
3
2
•
1
+
4
x
2
-
3
x
+
12
+
3
3
2
，
x
∈
（
0
，
2
）
（ii）
23
27
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/9 9:0:1组卷：152引用：5难度：0.4
