已知圆M：（x-4）²+（y-5）²=4，圆N与圆M关于直线l：x+y-2=0对称．
（1）求圆N的方程；
（2）过直线l上的点P分别作斜率为-

1

4

，4的两条直线l₁，l₂，使得被圆M截得的弦长与l₂被圆N截得的弦长相等．
（i）求P的坐标；
（ⅱ）过P任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交，判断所得弦长是否恒相等，并说明理由．

【考点】直线与圆的位置关系．

【答案】（1）（x+3）²+（y+2）²=4．
（2）（i）（-3，5）．
（ii）过点P任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长相等．
证明如下：
①当l₁的斜率等于0时，l₂的斜率不存在，l₁被圆M截得的弦长与l₂被圆N截得的弦长都等于圆的直径；
②当l₁的斜率不存在，l₂的斜率为0时，l₁与圆M不相交，l₂与圆N不相交；
③当l₁，l₂的斜率存在且不等于0时，两条直线分别与两圆相交时，
设l₁，l₂的方程分别为；y-5=-（x+3），y-5=k（9x+3），
即x+ky+3-5k=0，kx-y+3k+5=0，
因为M到l₁的距离d₁==，
N到直线l₂的距离d₂==，
所以M到l₁的距离与N到l₂的距离相等．
因为圆M与圆N的半径相等，所以l₁被圆M截得的弦长与l₂被圆N截得的弦长相等．
综上所述，过点P任作两条互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长相等．