如图①,等腰三角形ABC中,∠BCA=90°,AC=CB,点M、N在边AB上,且∠MCN=45°.
(1)如图①,当AM=BN时,将△ACM沿CM折叠,点A落在P处,再将△BCN沿CN折叠,点B也恰好落在P点处,此时,PM=AM,PN=BN,△PMN的形状是 等腰直角三角形等腰直角三角形,线段AM、BN、MN之间的关系是 AM2+BN2=MN2(或AM=BN=22MN)AM2+BN2=MN2(或AM=BN=22MN);
(2)如图②,∠MCN绕点C在∠ACB内部任意位置时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是 AM2+BN2=MN2AM2+BN2=MN2.试证明你的猜想:若AM=1,BN=3,求MN的长.
(3)当∠MCN图③的位置时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是 AM2+MN2=BN2AM2+MN2=BN2.(不要求证明)

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【考点】几何变换综合题.
【答案】等腰直角三角形;AM2+BN2=MN2(或AM=BN=MN);AM2+BN2=MN2;AM2+MN2=BN2
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【解答】
【点评】
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发布:2024/8/20 15:0:2组卷:341引用:3难度:0.3
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1.如图1,AB,BC被直线AC所截,∠B=72o,∠BAC<∠B,过点A作AE∥BC,点D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB交AE于点E.
(1)填空:∠E=;
(2)将线段AE沿线段AC方向平移得到线段PQ,连接DQ.
①如图2,当∠EDQ=45°时,求∠Q的度数;
②如图3,当∠EDQ=90°时,则∠Q=;
③在整个平移过程中,是否存在∠EDQ=3∠Q,若存在,直接写出此时∠Q的度数,若不存在说明理由.发布:2025/6/5 6:30:2组卷:108引用:2难度:0.2 -
2.【问题背景】
在图(1)中,①~③的三个三角形,各自是由△ABC通过怎样的全等变换得到的?
【问题探究】
(1)我们发现:
Ⅰ:图(1)中,①号三角形能由△ABC通过一次轴对称得到,请在图(1)中画出对称轴.
Ⅱ:图(1)中,②号三角形能由△ABC通过一次平移得到,则平移的距离为 单位.
Ⅲ:图(1)中,③号三角形能由△ABC通过先平移再旋转或先旋转再平移得到,请问:③号三角形能否由△ABC绕某个点,旋转一次得到?为解决这个问题,我们可以先解决两条相等的线段能否看成:一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到.分析过程如下:
已知线段AB与线段CD相等,分两种情况讨论:当AB与CD对应时,如图(2),分别作AC与BD的中垂线交于点O1,连接O1A、O1C、O1B、O1D.
∵O1在AC的中垂线上
∴O1A=O1C
同理,O1B=O1D
又∵AB=CD
∴△ABO1≌△CDO1(SSS)
∴∠AO1B=∠CO1D
∴∠AO1C=∠BO1D,即对应点与点O1形成的夹角相等
∴线段CD可以看成由线段AB绕点O1旋转一次得到.
第二种情况:当AB与DC对应时,如图(3),同理可证.
综上所述:两条相等的线段可以看成:一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到.
【问题解决】
(2)如图(4),已知△ABC≌△DEF(且满足△DEF不能由△ABC通过平移得到).现在来解决△DEF能由△ABC绕某个点通过一次旋转得到的问题:
①通过尺规作图找到旋转中心O;
②证明:△DEF能由△ABC绕点O通过一次旋转得到.(提示:只要证明关键的对应点到点O的距离相等和关键的对应点与点O形成的夹角相等)发布:2025/6/5 6:0:2组卷:367引用:5难度:0.2 -
3.已知△ABC是边长为4的等边三角形,点D是射线BC上的动点,将线段AD绕点D顺时针方向旋转60°得到线段DE,连接CE.
(1)如图1,求证:CE=BD;
(2)①当BD=时,∠DEC=30°;(直接写出结果)
②点D在运动过程中,△DEC的周长是否存在最小值?若存在,请直接写出△DEC周长的最小值;若不存在,请说明理由.发布:2025/6/5 5:30:2组卷:444引用:3难度:0.2