已知抛物线C：y2=2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过（-1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x=-4于点E，直线BF交直线x=-1于点D．是否存在这样的直线l,使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）x=-2；
（Ⅱ）
直线BF的方程为，
又xD=-1，所以，所以，
因为DE∥AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等．
又E（-4，-3k），所以．
整理得，即，
化简得，，即x1+x2=7．
所以，整理得，
解得．经检验，符合题意．
所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．
方法二：
因为DE∥AF，所以，所以．
整理得x1x2+（x1+x2）=8，即，
整理得．
解得，经检验，符合题意．
所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．
（Ⅱ）
直线BF的方程为
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
又xD=-1，所以
y
D
=
-
3
y
2
x
2
-
2
D
（
-
1
，
-
3
y
2
x
2
-
2
）
因为DE∥AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等．
又E（-4，-3k），所以
-
3
k
+
3
y
2
x
2
-
2
-
3
=
y
1
x
1
-
2
整理得
k
=
y
1
x
1
-
2
+
y
2
x
2
-
2
k
=
k
（
x
1
+
1
）
x
1
-
2
+
k
（
x
2
+
1
）
x
2
-
2
化简得
1
=
x
1
+
1
x
1
-
2
+
x
2
+
1
x
2
-
2
1
=
2
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
-
4
x
1
x
2
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
所以
8
-
2
k
2
k
2
=
7
k
2
=
8
9
解得
k
=±
2
2
3
k
=±
2
2
3
所以存在这样的直线l，直线l的方程为
y
=
2
2
3
（
x
+
1
）
y
=
-
2
2
3
（
x
+
1
）
方法二：
因为DE∥AF，所以
|
BA
|
|
BE
|
=
|
BF
|
|
BD
|
x
2
-
x
1
x
2
+
4
=
x
2
-
2
x
2
+
1
整理得x1x2+（x1+x2）=8，即
8
-
2
k
2
k
2
=
7
整理得
k
2
=
8
9
解得
k
=±
2
2
3
k
=±
2
2
3
所以存在这样的直线l，直线l的方程为
y
=
2
2
3
（
x
+
1
）
y
=
-
2
2
3
（
x
+
1
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/15 3:0:8组卷：501引用：5难度：0.6
