已知平面内动点P与点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-34．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x=4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．
3
4
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）=1（ x≠±2）；
证明：（2）当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y=k（x-1），
与曲线E的方程联立，消去y得（3+4k2）x2-8k2x-4k2-12=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=．
直线AP的方程为，
令x=4，得，即，同理．
∴-
=6||，
|x2-x1|==
=|．
∴|MN|=．
线段MN中点的纵坐标为（）=）=-．
故以MN为直径的圆的方程为：（x-4）2+=．
令y=0得：（x-4）2=9，解得x=1或x=7．
此时以MN为直径的圆过点D（1，0）和E（7，0）．
当PQ⊥x轴时，．
则以MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，也过点D，E．
∴以MN为直径的圆恒过点D（1，0）和E（7，0）．
x
2
4
+
y
2
3
证明：（2）当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y=k（x-1），
与曲线E的方程联立，消去y得（3+4k2）x2-8k2x-4k2-12=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
，
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
直线AP的方程为
y
y
1
=
x
+
2
x
1
+
2
令x=4，得
y
=
6
y
1
x
1
+
2
M
（
4
，
6
y
1
x
1
+
2
）
N
（
4
，
6
y
2
x
2
+
2
）
∴
|
MN
|
=
6
y
2
x
2
+
2
6
y
1
x
1
+
2
=6|
k
[
（
x
2
-
1
）
（
x
1
+
2
）
-
（
x
1
-
1
）
（
x
2
+
2
）
]
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
|
=
18
|
k
（
x
2
-
x
1
）
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
|x2-x1|=
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
64
k
2
（
3
+
4
k
2
）
2
-
4
×
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
=
12
1
+
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
|
=
|
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
2
×
8
k
2
3
+
4
k
2
+
4
|
=
36
k
2
3
+
4
k
2
∴|MN|=
6
1
+
k
2
|
k
|
线段MN中点的纵坐标为
1
2
6
y
1
x
1
+
2
+
6
y
2
x
2
+
2
3
k
•
（
x
1
-
1
x
1
+
2
+
x
2
-
1
x
2
+
2
3
k
故以MN为直径的圆的方程为：（x-4）2+
（
y
+
3
k
）
2
9
（
1
+
k
2
）
k
2
令y=0得：（x-4）2=9，解得x=1或x=7．
此时以MN为直径的圆过点D（1，0）和E（7，0）．
当PQ⊥x轴时，
P
（
1
，
3
2
）
，
Q
（
1
，-
3
2
）
，
M
（
4
，
3
）
，
N
（
4
，-
3
）
则以MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，也过点D，E．
∴以MN为直径的圆恒过点D（1，0）和E（7，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/21 4:0:1组卷：128引用：2难度：0.4
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