已知平面上动点P到定点F（2，0）的距离比P到直线x=-1的距离大1．记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点（-2，0）的直线l交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线BD恒过点F．
【答案】（1）y2=8x．
（2）证明：设直线l的方程为x=my-2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，得y2-8my+16=0，Δ=64m2-64＞0，解得m＞1或m＜-1．
∴y1+y2=8m，y1y2=16．
又点A关于x轴的对称点为D，D（x1，-y1），
则直线BD的方程为，
即，
令y=0，得．
∴直线BD恒过定点（2，0），而点F（2，0），即直线BD恒过点F．
（2）证明：设直线l的方程为x=my-2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
x = my - 2 |
y 2 = 8 x |
∴y1+y2=8m，y1y2=16．
又点A关于x轴的对称点为D，D（x1，-y1），
则直线BD的方程为
y
-
y
2
=
y
2
+
y
1
x
2
-
x
1
（
x
-
x
2
）
即
y
-
y
2
=
y
2
+
y
1
（
m
y
2
-
2
）
-
（
m
y
1
-
2
）
（
x
-
x
2
）
=
8
y
2
-
y
1
（
x
-
y
2
2
8
）
令y=0，得
x
=
y
2
2
8
-
y
2
•
y
2
-
y
1
8
=
y
1
y
2
8
=
2
∴直线BD恒过定点（2，0），而点F（2，0），即直线BD恒过点F．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：22引用：3难度：0.6
相似题
-
1．抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l,A，B是抛物线上的两个动点，且满足AF⊥BF，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则
的最大值是（ ）|PQ||AB|发布：2024/12/29 5:30:3组卷：482引用：8难度：0.5 -
2．如图，设抛物线y2=2px的焦点为F，过x轴上一定点D（2，0）作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记△BCF的面积为S1，△ACF的面积为S2，若，则抛物线的标准方程为（ ）S1S2=14发布：2024/12/17 0:0:2组卷：164引用：6难度：0.6 -
3．如图，已知点P是抛物线C：y2=4x上位于第一象限的点，点A（-2，0），点M，N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足PM⊥PN，AM⊥AN，线段PN分别交x轴正半轴、抛物线C于点D，Q，射线MP交x轴正半轴于点E．
（Ⅰ）若四边形ANPM为矩形，求点P的坐标；
（Ⅱ）记△DOP，△DEQ的面积分别为S1，S2，求S1•S2的最大值．发布：2024/12/29 1:0:8组卷：98引用：2难度：0.4
