已知抛物线G：y2=2px,其中p＞0．点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x=-2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q．
（Ⅰ）求抛物线的方程和F的坐标；
（Ⅱ）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（Ⅰ）抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0），
（Ⅱ）PQ∥AB．
理由：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为x=my+2，
联立方程
消元得，y2-4my-8=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-8，
由题意得x1x2y1y2≠0，
直线OA的方程为令x=-2，则，则，
因为OA⊥BQ，所以，
直线BQ的方程为，
令y=0，则，则，
①当m=0时，直线AB的斜率不存在，x1=2，可知，
直线PQ的斜率不存在，则PQ∥AB，
②当m≠0时，，，
则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．
方法二：
直线PQ∥AB．
（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设，，
直线AO的方程为，则，
直线BQ的方程为，即，
令y=0，则Q（-2，0），则直线PQ的斜率不存在，因此PQ∥AB，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2），k≠0，
联立方程，
，
消元得，k2x2-4k2x+4k2-4x=0，
整理得，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，
由韦达定理，可得，x1x2=4，因为y1y2＜0，可得y1y2=-8．
显然x1x2y1y2≠0，
直线OA的方程为
令x=-2，则，则，
因为OA⊥BQ，所以，
直线BQ的方程为，
令y=0，则，
则，则PQ∥AB，
综上所述，PQ∥AB．
（Ⅱ）PQ∥AB．
理由：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为x=my+2，
联立方程
x = my + 2 ， |
y 2 = 4 x ， |
所以y1+y2=4m，y1y2=-8
x
1
x
2
=
1
16
y
2
1
y
2
2
=
4
由题意得x1x2y1y2≠0，
直线OA的方程为
y
=
y
1
x
1
x
y
=
-
2
y
1
x
1
P
（
-
2
，
-
2
y
1
x
1
）
因为OA⊥BQ，所以
k
BQ
=
-
x
1
y
1
直线BQ的方程为
y
-
y
2
=
-
x
1
y
1
（
x
-
x
2
）
令y=0，则
x
=
y
1
y
2
x
1
+
x
2
=
y
1
y
2
+
x
1
x
2
x
1
=
-
4
x
1
Q
（
-
4
x
1
，
0
）
①当m=0时，直线AB的斜率不存在，x1=2，可知，
直线PQ的斜率不存在，则PQ∥AB，
②当m≠0时，
k
PQ
=
2
y
1
x
1
-
4
x
1
+
2
=
y
1
-
2
+
x
1
=
y
1
-
2
+
（
m
y
1
+
2
）
=
1
m
k
AB
=
1
m
则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．
方法二：
直线PQ∥AB．
（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设
A
（
2
，-
2
2
）
B
（
2
，
2
2
）
直线AO的方程为
y
=
-
2
x
P
（
-
2
，
2
2
）
直线BQ的方程为
y
-
2
2
=
2
2
（
x
-
2
）
y
=
2
2
x
+
2
令y=0，则Q（-2，0），则直线PQ的斜率不存在，因此PQ∥AB，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2），k≠0，
联立方程，
y 2 = 4 x |
y = k （ x - 2 ） |
消元得，k2x2-4k2x+4k2-4x=0，
整理得，k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，
由韦达定理，可得
x
1
+
x
2
=
4
k
2
+
4
k
2
y
2
1
y
2
2
=
16
x
1
x
2
=
64
显然x1x2y1y2≠0，
直线OA的方程为
y
=
y
1
x
1
x
令x=-2，则
y
=
-
2
y
1
x
1
P
（
-
2
，
-
2
y
1
x
1
）
因为OA⊥BQ，所以
k
BQ
=
-
x
1
y
1
直线BQ的方程为
y
-
y
2
=
-
x
1
y
1
（
x
-
x
2
）
令y=0，则
x
=
y
1
y
2
x
1
+
x
2
=
y
1
y
2
+
x
1
x
2
x
1
=
-
4
x
1
则
Q
（
-
4
x
1
，
0
）
k
PQ
=
2
y
1
x
1
-
4
x
1
+
2
=
2
y
1
-
4
+
2
x
1
=
2
k
（
x
1
-
2
）
2
x
1
-
4
=
k
综上所述，PQ∥AB．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：274引用：4难度：0.3
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