数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2．由此得到（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，正方形ABCD是由四个边长为a,b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是 （a+b）2=（a-b）2+4ab（a+b）2=（a-b）2+4ab（用a,b表示）；
（2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：a2+3ab+2b2．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式；
（3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数x,y满足x+y=3，xy=54，求x2-y2的值．
xy
=
5
4
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
【答案】（a+b）2=（a-b）2+4ab
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/18 7:0:2组卷：173引用：4难度：0.5
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1．若正整数x、y满足x2-y2=2019，则这样的数对（x,y）个数是（ ）
发布：2025/6/12 16:30:2组卷：135引用：2难度：0.6 -
2．对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同．且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数”N=
，将它的千位和百位构成的两位数为abcd，个位和十位构成的两位数为ab，规定：F（N）=dc．ab-dc12
例如：N=7028．因为0-2=2×（7-8），所以7028是一个“双减数”则F（7028）==-1．70-8212
（1）判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出F（N）的值；
（2）若“双减数”M的各个数位上的数字之和能被11整除，且F（M）是3的倍数，求M的值．发布：2025/6/12 16:0:1组卷：279引用：3难度：0.4 -
3．对一个任意三位数M=a
c,如果M满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，现将M各个数位上的数字从左往右由大到小排列得到一个新数M1，将M各个数位上的数字从左往右由小到大排列得到一个新数M2，记F（M）=b，如果F（M）为整数，则称M为“7倍和数”．M1+M27
例如：M=326，则F（326）==124是整数，所以326是“7倍和数”；M=123，则F（123）=632+2367=63321+1237不是整数，所以123不是“7倍和数”．37
（1）判断324，745是否是“7倍和数”，并说明理由；
（2）T=100a+90+b（1≤a＜b＜9），a,b都是正整数，T是“7倍和数”，求T的值．发布：2025/6/12 16:0:1组卷：43引用：1难度：0.5
