已知动圆P过点F（0，18）且与直线y=-18相切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过△OAB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
F
（
0
，
1
8
）
1
8
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）x2=y．
（2）证明：由题意可知直线AB的斜率一定存在，否则不与曲线C有两个交点．
设AB方程为y=kx+m，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程
，
得2x2-kx-m=0，
则得x1+x2=，x1x2=-，
由x2=y得：，y2=2．Δ=k2+8m＞0．
y1y2=•2=4=4×=m2．
Δ=k2+8m
直线AB过△AOB的外心，其中O为坐标原点，∴OA⊥OB．
∴=x1x2+y1y2=0，
∴+m2=0．m≠0
解得m=．
∴直线AB过定点（0，）．
1
2
（2）证明：由题意可知直线AB的斜率一定存在，否则不与曲线C有两个交点．
设AB方程为y=kx+m，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程
y = kx + m |
y = 2 x 2 |
得2x2-kx-m=0，
则得x1+x2=
k
2
m
2
由x2=
1
2
y
1
=
2
x
2
1
x
2
2
y1y2=
2
x
2
1
x
2
2
（
x
1
x
2
）
2
（
x
1
x
2
）
2
Δ=k2+8m
直线AB过△AOB的外心，其中O为坐标原点，∴OA⊥OB．
∴
OA
•
OB
∴
-
m
2
解得m=
1
2
∴直线AB过定点（0，
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/28 6:0:10组卷：455引用：6难度：0.3
