已知△ABC为等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DE⊥AB，垂足为E，AC=3，则CF=3434；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：DE=DF；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=3（BE-CF）．
3
4
3
4
BE
+
CF
=
3
（
BE
-
CF
）
【考点】几何变换综合题．
【答案】
3
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/4 8:0:9组卷：22引用：1难度：0.3
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1．【发现奥秘】
（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是△ABC内一点，连接AE，EC，BE，分别将AC，EC绕点C顺时针旋转60°得到DC，FC，连接AD，DF，EF．当B，E，F，D四个点满足 时，BE+AE+CE的值最小，最小值为 ．
【解法探索】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，请求出当PA+PB+PC的值最小时∠BCP的度数，并直接写出此时PA：PB：PC的值．（提示：分别将PC，AC绕点C顺时针旋转60°得到DC，EC，连接PD，DE，AE）
【拓展应用】
（3）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，直接写出当PA+PB+PC的值最小时，PA：PB：PC的值．
发布：2025/5/26 0:30:1组卷：232引用：1难度：0.4 -
2．下面是某数学兴趣小组对一个数学问题作的探究活动：
（1）如图1，小明同学得出△OAC≌△BPC，他的判断理由是 ．问题：
如图1，已知，∠MON=60°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，以线段AP为斜边作Rt△ACP，AC=PC，∠ACP=90°（C和O在AP的两侧），连接OC，将线段OC绕C逆时针旋转90°至BC，连接OB．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
（2）如图2，小颖同学作BD⊥ON于D，她认为OA与BD存在某种数量关系，那么OA与BD是否有数量关系？如果有数量关系，请你写出OA与BD的数量关系并说明理由；
（3）如图1，小华说，当OA=2，当△AOP是直角三角形时，可求出OB2的值，请你直接写出OB2的值．发布：2025/5/25 22:30:2组卷：142引用：2难度：0.1 -
3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；②若AG=QG，AB=AC=4，求EH的长度．发布：2025/5/26 1:0:1组卷：181引用：1难度：0.3
