如图，抛物线y=ax²+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；
（3）将抛物线y=ax²+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．

【答案】（1）y=x²+2x-3；（2）D（-1，-4）或D（-2，-3）；（3）以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，点H的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（-4，21）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/23 8:0:10组卷：145引用：1难度：0.5

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1．已知点P是二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1图象的顶点．
（1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：
①将下表填写完整：

　m -1 　0 　1 　2 　3

　P点坐标　（-2，1）　（-1，-1）

②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证；
（2）若过点（0，2），且平行于x轴的直线与y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象有两个交点A和B，与②中得到的函数的图象有两个交点C和D，当AB=CD时，直接写出m的值等于
；
（3）若m≥2，点Q在二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象上，横坐标为m,点E在②中得到的函数的图象上，当∠EPQ=90°时，求出E点的横坐标（用含m的代数式表示）．

发布：2025/5/25 18:30:1组卷：259引用：1难度：0.3

2．已知点P（m,n）在抛物线y=ax²+2x+1上运动．
（1）当a=-1时，若点P到y轴的距离小于2，求n的取值范围；
（2）当-4≤m≤0时，n的最大值是1，求a的取值范围．
发布：2025/5/25 18:30:1组卷：205引用：2难度：0.4
解析
3．抛物线y=-
1
2
x²+bx+b+1的顶点为C，与x轴相交于点A，B，与y轴交于点D，已知点E的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线经过定点F的坐标．
（2）当∠CDE=90°时，求b的值．
（3）线段FC与DE能否相等？若相等，判断此时这两线段的位置关系，并证明你的结论，求出b的值．
发布：2025/5/25 19:0:2组卷：101引用：1难度：0.3
解析

m	-1	0	1	2	3
P点坐标	（-2，1）	（-1，-1）