数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，在AD边上取一点M使AM=8，将AM绕点A顺时针旋转α度到AG，以AG为边作矩形AEFG（如图1所示），AE=6，连接DG、BE交于点N．
（1）求证：DG⊥BE．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明△ADG∽△ABE，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明∠BND=∠BAD=90°，从而得到DG⊥BE．请你按照他的思路完成证明过程；
（2）连接BG，当旋转角α=150时（如图2），求S△ABGS△ADG的值；
（3）连接DE（如图3），当0＜α＜180°时，小明发现DE2+BG2是一个定值，请求出这个值．
S
△
ABG
S
△
ADG
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）；
（3）结论：BG2+DE2=325．理由见解析部分．
（2）
3
3
4
（3）结论：BG2+DE2=325．理由见解析部分．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：125引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上（AG＜AD）．
（1）如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°），DG和BF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），求的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；CEDG
（3）如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由．22发布：2025/5/22 23:30:1组卷：682引用：1难度：0.3 -
2．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=4．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．
（1）求AP的取值范围；
（2）连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM=2∠ADG时，求AP的长．
发布：2025/5/22 21:30:2组卷：1261引用：4难度：0.2 -
3．已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当=ADAB=1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；AGAE
（2）如图2，当=ADAB=2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；AGAE
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB=，∠AEB=45°，请直接写出△MND的面积．5
发布：2025/5/22 23:30:1组卷：2941引用：6难度：0.1
