如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于C，抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B，M为抛物线的顶点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图1，P点为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC、PO，PO交AC于点Q，若PO将△APC的面积分为1：2两部分，求点Q的坐标；
（3）如图2，若点N是第三象限的抛物线上一点，连接NM，交直线AC于E，当∠NEC=∠BCM时，求点N的坐标；
（4）在（3）的条件下，若F是y轴上的一个动点，请直接写出NF+1010CF的最小值．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点M（-1，4）；
（2）Q点坐标为（-2，1）或（-1，2）；
（3）N（-4，-5）；
（4）NF+CF的最小值为2．
（2）Q点坐标为（-2，1）或（-1，2）；
（3）N（-4，-5）；
（4）NF+
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【解答】
【点评】
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发布：2024/5/19 8:0:9组卷：100引用：1难度：0.1
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1．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：611引用：5难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于点A（-3，0），点B（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以A、O、M、N为顶点为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：920引用：3难度：0.2 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m.是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 10:0:1组卷：3750引用：13难度：0.4
