已知圆O：x2+y2=1和点M（-1，-4）．
（Ⅰ）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-12截得的弦长为8的圆M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得|PQ||PR|为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
|
PQ
|
|
PR
|
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（Ⅰ）x=-1或15x-8y-17=0；
（Ⅱ）点M（-1，-4）到直线2x-y-12=0的距离为，
因为圆被直线y=2x-12截得的弦长为8，所以，
故圆M的方程为（x+1）2+（y+4）2=36；
（Ⅲ）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，
因为点P在圆M上，所以（x+1）2+（y+4）2=36，
则x2+y2=-2x-8y+19，因为PQ为圆O的切线，所以OQ⊥PQ，
所以PQ2=PO2-1=x2+y2-1，PR2=（x-a）2+（y-b）2，
所以x2+y2-1=λ[（x-a）2+（y-b）2]，
即-2x-8y+19-1=λ（-2x-8y+19-2ax-2by+a2+b2），
整理得（-2+2λ+2aλ）x+（-8+8λ+2bλ）y+（18-19λ-a2λ-b2λ）=0（*），
若使（*）式对任意x，y恒成立，
则
，所以
，
代入得，
化简整理得36λ2-52λ+17=0，解得或，
所以
或
，
存在定点R（1，4），此时为定值，
或定点R，，此时=．
（Ⅱ）点M（-1，-4）到直线2x-y-12=0的距离为
d
=
|
-
2
+
4
-
12
|
5
=
2
5
因为圆被直线y=2x-12截得的弦长为8，所以
γ
=
（
2
5
）
2
+
4
2
=
6
故圆M的方程为（x+1）2+（y+4）2=36；
（Ⅲ）假设存在定点R，使得
PQ
PR
P
Q
2
P
R
2
=
λ
因为点P在圆M上，所以（x+1）2+（y+4）2=36，
则x2+y2=-2x-8y+19，因为PQ为圆O的切线，所以OQ⊥PQ，
所以PQ2=PO2-1=x2+y2-1，PR2=（x-a）2+（y-b）2，
所以x2+y2-1=λ[（x-a）2+（y-b）2]，
即-2x-8y+19-1=λ（-2x-8y+19-2ax-2by+a2+b2），
整理得（-2+2λ+2aλ）x+（-8+8λ+2bλ）y+（18-19λ-a2λ-b2λ）=0（*），
若使（*）式对任意x，y恒成立，
则
- 2 + 2 λ + 2 aλ = 0 |
- 8 + 8 λ + 2 bλ = 0 |
18 - 19 λ - a 2 λ - b 2 λ = 0 |
a = 1 - λ λ |
b = 4 - 4 λ λ |
代入得
18
-
19
λ
-
（
1
-
λ
λ
）
2
λ
-
（
4
-
4
λ
λ
）
2
λ
=
0
化简整理得36λ2-52λ+17=0，解得
λ
=
1
2
λ
=
17
18
所以
λ = 1 2 |
a = 1 |
b = 4 |
λ = 17 18 |
a = 1 17 |
b = 4 17 |
存在定点R（1，4），此时
PQ
PR
2
2
或定点R
（
1
17
4
17
）
PQ
PR
34
6
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/11 0:0:9组卷：231引用：1难度：0.3
