设函数f（x）的定义域为D，对于区间I=[a,b]（a＜b,I⊆D），若满足以下两条性质之一，则称I为f（x）的一个“美好区间”．性质①：对任意x∈I，有f（x）∈I；性质②：对任意x∈I，有f（x）∉I．
（1）判断并证明区间[1，2]是否为函数y=3-x的“美好区间”；
（2）若[0，m]（m＞0）是函数f（x）=-x2+2x的“美好区间”，试求实数m的取值范围；
（3）已知定义在R上，且图像连续不断的函数f（x）满足：对任意a,b∈R（a＜b），有f（a）-f（b）＞b-a.求证：f（x）存在“美好区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于f（x）的任意一个“美好区间”．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【答案】（1）是，证明见解答；
（2）[1，2]；
（3）证明见解答．
（2）[1，2]；
（3）证明见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/2 16:0:1组卷：66引用：3难度：0.2
