材料1．类比是获取数学知识的重要思想之一，很多优美的数学结论就是利用类比思想获得的．例如：若a＞0，b＞0，则

a

+

b

2

≥

ab

，当且仅当a=b时，取等号，我们称为二元均值不等式．类比二元均值不等式得到三元均值不等式：a＞0，b＞0，c＞0，则

a

+

b

+

c

3

≥

3

abc

，当且仅当a=b=c时，取等号．我们经常用它们求相关代数式或几何问题的最值，某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的．
题：将边长为12cm的正方形硬纸片（如图1）的四个角裁去四个相同的小正方形后，折成如图2的无盖长方体小纸盒，求纸盒容积的最大值．

解：设截去的小正方形的边长为x（0＜x＜6），则纸盒容积V=（12-2x）²x=

1

4

（

12

-

2

x

）

（

12

-

2

x

）

（

4

x

）

≤

1

4

（

12

-

2

x

+

12

-

2

x

+

4

x

3

）

3

=128．
当且仅当12-2x=12-2x=4x,即x=2时取等号．所以纸金的容积取得最大值128cm³．在求V的最大值中，用均值不等式求最值时，遵循“一正二定三相等”的规则．你也可以将V=（12-2x）²x变形为V=（12-2x）²x=2（6-x）（6-x）（2x）求解．
你还可以设纸盒的底面边长为a,高为b,则a+2b=12，则纸盒容积V=a²b=

1

4

aa

（

4

b

）

≤

1

4

（

a

+

a

+

4

b

3

）

3

=

1

4

×

（

2

（

a

+

2

b

）

3

）

3

=

1

4

×

（

2

×

12

3

）

3

=128．
当且仅当a=a=4b,即a=8，b=2时取等号，所以纸盒的容积取得最大值128cm³．
材料2．《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下第4题：
如图1，圆锥的底面直径和高均为a,过PO的中点O₁作平行于底面的截面，以该截面为底的面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．我们称圆柱为圆锥的内接圆柱．
根据材料1与材料2完成下列问题．
如图2，底面直径和高均为6cm的圆锥有一个底面半径为R，高为H的内接圆柱．

（1）求R与H的关系式；
（2）求圆柱侧面积的最大值；
（3）求圆柱体积的最大值．