已知抛物线y2=2px（p＞0）上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当抛物线的准线方程为x=-14时，作正方形ABCD使得边CD直线方程为y=x+4，求正方形的边长；
（2）抛物线上一定点Px0，y0）（y0＞0），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线AB的斜率是非零常数．
x
=
-
1
4
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）3或5；
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
由=2px1，=2px0，相减得：
（y1-y0）（y1+y0）=2p（x1-x0），
故kPA==（x1≠x0）；
同理可得kPB=（x2≠x0）；
由PA、PB倾斜率角互补知kPA=-kPB，
即=-；
∴y1+y2=-2y0，故=-2；
设直线AB的斜率为kAB，由=2px2，=2px1，
相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1），
∴kAB==（x1≠x2）；
将y1+y2=-2，（y0＞0）代入得：
kAB==-，
所以kAB是非零常数．
2
2
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
由
y
2
1
y
2
0
（y1-y0）（y1+y0）=2p（x1-x0），
故kPA=
y
1
-
y
0
x
1
-
x
2
2
p
y
1
+
y
0
同理可得kPB=
2
p
y
1
+
y
0
由PA、PB倾斜率角互补知kPA=-kPB，
即
2
p
y
1
+
y
0
2
p
y
2
+
y
0
∴y1+y2=-2y0，故
y
1
+
y
2
y
0
设直线AB的斜率为kAB，由
y
2
2
y
2
1
相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1），
∴kAB=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
2
p
y
2
+
y
1
将y1+y2=-2，（y0＞0）代入得：
kAB=
2
p
y
1
+
y
2
p
y
0
所以kAB是非零常数．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：73引用：1难度：0.1
