矩形OABC的顶点A，C分别在x,y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边AB交于点E（8，m），AB=4．
（1）如图1，若BE=3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x,y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
y
=
k
x
（
x
＞
0
）
【考点】反比例函数综合题．
【答案】（1）①反比例函数表达式为y=；
②OG=；
（2）四边形OAEF的面积为-（m-2）2+20，面积最大为20．
8
x
②OG=
5
2
（2）四边形OAEF的面积为-（m-2）2+20，面积最大为20．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/28 8:0:9组卷：830引用：5难度：0.4
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1．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l2，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】：
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB=12，AD=8，则DE与BC之间的距离是 ．
（2）如图3，已知直线l3：y=-x+8与双曲线C1：y=（x＞0）交于A（2，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；kx
【拓展】：
（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南-西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线l4的函数表达式为y=-x,小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y=（x＞0），那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？3000x发布：2025/5/23 6:30:1组卷：538引用：3难度：0.2 -
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（5，0），C（-3，4），点B在反比例函数的图象上，一次函数y=kx+b的图象与双曲线y=mx相交于B、D两点，且D点的横坐标为-1．y=mx
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）直接写出的解集．mx＞kx+b发布：2025/5/23 6:30:1组卷：251引用：1难度：0.5 -
3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M是AC的中点，点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ、PC、QC．当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB=∠PCB．设点P的运动路程为x,S△MAQ=y1．
（1）直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：
（2）写出函数y1的一条性质：．x 121 322 523 y1
（3）在直角坐标系中已经画出y2=的函数图象，结合y1和y2的函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．（结果取精确值）x,（0＜x≤2）4-x,（2＜x≤3）发布：2025/5/23 6:0:2组卷：385引用：4难度：0.3
