在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，4），与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式及B，C两点的坐标；
（2）点P为抛物线在第二象限上的动点，是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）过点D作DE⊥x轴交直线AC于点E，过抛物线上一动点M（不与点D重合）作MN∥DE交直线AC于点N，若以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标；
（4）如图（3），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3，点B、C的坐标分别为：（1，0）、（0，3）；
（2）存在，点P的坐标为：（-，）；
（3）点N的坐标为：（-2，1）或（，）或（，）；
（4）存在，点Q的坐标为（2，-5）或（1，0）．
（2）存在，点P的坐标为：（-
3
2
15
4
（3）点N的坐标为：（-2，1）或（
-
3
-
17
2
3
+
17
2
-
3
-
17
2
3
-
17
2
（4）存在，点Q的坐标为（2，-5）或（1，0）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/8/16 21:0:1组卷：72引用：1难度：0.3
相似题
-
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），且tan∠OAC=3．33
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MD∥y轴交AC于点D，求MD+DC的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，连接BC，将△BOC绕着点A逆时针旋转60°得到△B'O'C'，将抛物线y=ax2+bx-沿着射线CB方向平移，使得平移后的新抛物线经过O'，H是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使以点B'，C'，H，P为顶点的四边形是以B'C'为边的菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3
发布：2025/5/25 17:0:1组卷：435引用：1难度：0.2 -
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．
（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为 ．发布：2025/5/25 17:30:1组卷：290引用：1难度：0.2 -
3．如图，已知二次函数y=-x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（-1，0），C（2，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE的最大值以及此时E点的坐标；
（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．发布：2025/5/25 18:0:1组卷：390引用：1难度：0.3
