如图，Rt△ABC的顶点A（-1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以5个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点G（0，4），设直线GE的解析式为y=mx+4，直线GF的解析式为y=nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
5
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）△CPQ的最大面积是，P的坐标为（，0）；
（3）m+n为定值，m+n的值是定值3．
1
2
3
2
（2）△CPQ的最大面积是
25
16
3
2
（3）m+n为定值，m+n的值是定值3．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1991引用：3难度：0.1
相似题
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1．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义：点P与点Q的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|．例如：若点M（-1，3），点N（4，1），则点M与点N的“直角距离”为：d（M，N）=|-1-4|+|3-1|=5+2=7．根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点P（4，-3）．
①若点A（2，-4），则d（P，A）=；
②若点B（b,1），且d（P，B）=6，则b=；
③已知点C（m,n）是直线y=-x+2上的一个动点，且d（P，C）＜5，求m的取值范围．
（2）已知点C（3，0），P为平面直角坐标系内一点，且满足d（P，C）=2．
①若点P在y=x2-8x+17图象上，求点P的坐标；
②若点P在直线y=kx+5上，求k的取值范围．
（3）在平面直角坐标系xOy中，P为动点，且d（O，P）=4，⊙M圆心为M（t,0），半径为1．若⊙M上存在点N使得PN=1，求t的取值范围．
发布：2025/5/22 13:30:1组卷：292引用：1难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点．
①当∠PCA=45° 时，求点P坐标；
②如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，作PD⊥AB于点D，点M在直线PD上，点N在平面内，若以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M的坐标．
发布：2025/5/22 14:0:1组卷：274引用：1难度：0.4 -
3．如图1，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（-3，0）和B（4，0），点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的函数解析式；
（2）如图1，点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作PD⊥BC交BC于点D，作PE∥y轴交BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．发布：2025/5/22 14:0:1组卷：297引用：3难度：0.1
