如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点B在第一象限，点A的坐标为（a,0）．点P是正方形OABC四条边上一动点（不与点O重合），将点P绕点O顺时针旋转45°得到点P′，称点P′为正方形OABC的“伴随点”．
（1）如图1，若a=2，点P在边BC上运动，
①当点P运动到点B时，正方形OABC的“伴随点”P′的坐标为 （22，0）（22，0）；
②当点P′恰好落在边AB时，求此时点P′的坐标；
（2）如图2，线段EF的端点坐标分别为E（3，2）、F（3，-1），若线段EF上存在正方形OABC的两个“伴随点”，求a的取值范围；
（3）若正方形OABC的所有“伴随点”中有6个整点（横、纵坐标都是整数），直接写出a的取值范围．
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【考点】四边形综合题．
【答案】（2，0）
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【解答】
【点评】
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发布：2024/8/20 0:0:1组卷：51引用：1难度：0.2
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1．如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转90°到AQ．PQ与AD，BC分别交于点E，F．
（1）求证：AD平分∠PDQ．
（2）若BP=2，BC=4，求DE的长，2
（3）当=BPBD时，14=．（只写结果）BFBC发布：2025/5/24 14:30:1组卷：24引用：1难度：0.1 -
2．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ=α，连接BQ．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α=90°．无论点P在何处，总有BQ=DP，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB=α=60°，∠MAD=15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB=时，求AP的长；6+2
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8，AM平分∠DAC，α=90°．在射线AQ上截取AR，使得AR=AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．43发布：2025/5/24 15:30:1组卷：2630引用：11难度：0.2 -
3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E，分别在CA，BC的延长线且AD=CE，过点C作CF⊥DE，垂足为F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
（1）求证：∠BCG=∠CDE；
（2）①在图中找出与CG相等的线段，并证明；
②探究线段AG、BG、DE之间的数量关系（直接写出）；
（3）若AG=kBG，求的值（用含k的代数式表示）．DFEF发布：2025/5/24 14:30:1组卷：510引用：2难度：0.3
