基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD=12S△ABC．
理由：因为AD是△ABC边BC上的中线，所以BD=CD．
又因为S△ABD=12BD×AH，S△ACD=12CD×AH，所以S△ABD=S△ACD=12S△ABC．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中，△ABC的面积为a.
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=aa（用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=2a2a（用含a的代数式表示）；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=6a6a（用含a的代数式表示）；
拓展应用：
（4）如图5，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为8a,则△BEF的面积为 2a2a（用含a的代数式表示），并写出理由．
S
△
ABD
=
S
△
ACD
=
1
2
S
△
ABC
S
△
ABD
=
1
2
BD
×
AH
S
△
ACD
=
1
2
CD
×
AH
S
△
ABD
=
S
△
ACD
=
1
2
S
△
ABC
【考点】三角形综合题．
【答案】a；2a；6a；2a
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/10 8:0:8组卷：192引用：2难度：0.5
相似题
-
1．如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且A，C，E在同一条直线上，分别连接AD，BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）如图2，连接BD，若M，N，Q分别为AB，DE，BD的中点，过N作NP⊥MN与MQ的延长线交于P，求证：MP=AD；
（3）如图3，设AD与BE交于F点，点M在AB上，MG∥AD，交BE于H，交CF的延长线于G，试判断△FGH的形状．
发布：2025/5/24 17:0:2组卷：45引用：1难度：0.1 -
2．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a,b,则面积为ab,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，用12、a代替a,b得，a+b≥2b，即ab（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知x为实数，求y=a+b2≥ab的最小值”为例给同学们介绍．x2+4x2+1
解：由题知y=，x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1
∴＞0，x2+1＞0，3x2+1
∴y=，当且仅当x2+1+3x2+1≥2x2+1⋅3x2+1=23时取等号，即当x=x2+1=3x2+1时，函数的最小值为22．3
总结：利用基本不等式（a＞0，b＞0）求最值，若ab为定值．则a+b有最小值．a+b2≥ab
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．
（1）若x＞0，求y=2x+的最小值；2x
（2）若x＞2，求y=x+的最小值；1x-2
（3）若x≥0，求y=的最小值．x+4x+13x+2发布：2025/5/24 19:30:1组卷：236引用：3难度：0.5 -
3．（1）如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．
（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC=14，BC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，DE=2．求AD的长．
（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°．延长DE，BC交于点F，AD=4，DE=5，EF=6，DE＜BD，=；BD=．BCAC发布：2025/5/24 16:30:1组卷：1046引用：6难度：0.1
