已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-12，求证：直线AB过x轴上一定点．
-
1
2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t2=32．
所以（8，t），B（8，-t），此时直线AB的方程为x=8．
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）
联立方程
，化简得ky2-4y+4b=0．
根据韦达定理得到，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以得到，即xAxB+2yAyB=0．
得到，
化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=-32．
又因为，
所以y=kx-8k，即y=k（x-8）．
综上所述，直线AB过定点（8，0）．
（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A
（
t
2
4
，
t
）
，
B
（
t
2
4
，-
t
）
因为直线OA，OB的斜率之积为
-
1
2
t
t
2
4
-
t
t
2
4
=
-
1
2
所以（8，t），B（8，-t），此时直线AB的方程为x=8．
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）
联立方程
y 2 = 4 x |
y = kx + b |
根据韦达定理得到
y
A
y
B
=
4
b
k
因为直线OA，OB的斜率之积为
-
1
2
y
A
x
A
y
B
x
B
=
-
1
2
得到
y
A
2
4
y
B
2
4
+
2
y
A
y
B
=
0
化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=-32．
又因为
y
A
y
B
=
4
b
k
=
-
32
，
b
=
-
8
k
所以y=kx-8k，即y=k（x-8）．
综上所述，直线AB过定点（8，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：609引用：13难度：0.3
