先看下面的阅读材料：
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），称相应的二次函数f1（x）=3ax2+2bx+c为f（x）的“导函数”，研究发现，若导函数f1（x）＞0在区间D上恒成立，则f（x）在区间D上单调递增；若导函数f1（x）＜0在区间D上恒成立，则f（x）在区间D上单调递减．
例如：函数f（x）=-2x3+3x2+12x+5，其导函数f1（x）=-6x2+6x+12=-6（x2-x-2）
=-6（x-2）（x+1），由f1（x）＞0，得-1＜x＜2，由f1（x）＜0，得x＜-1或x＞2，
所以三次函数f（x）在区间（-1，2）上单调递增，在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递减．
结合阅读材料解答下面的问题：
（1）求三次函数f（x）=-x3+12x2+4x的单调区间；
（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），
形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边，OP⊥OE），已知AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
①设OP=xkm（0＜x＜2），求出梯形OPRE的面积S与x的解析式；
②求该公园的最大面积．
f
1
（
x
）
=
3
a
x
2
+
2
bx
+
c
f
1
（
x
）
=
-
6
x
2
+
6
x
+
12
f
（
x
）
=
-
x
3
+
1
2
x
2
+
4
x
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）f（x）在区间上单调递增，在区间（-∞，-1）和上单调递减；
（2）①；②km2．
（
-
1
，
4
3
）
（
4
3
，
+
∞
）
（2）①
S
=
-
x
3
+
1
2
x
2
+
4
x
（
0
＜
x
＜
2
）
104
27
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/10/19 9:0:1组卷：18引用：1难度：0.5
相似题
-
1．已知函数f（x）=x3-2kx2+x-3在R上不单调，则k的取值范围是 ；
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：237引用：3难度：0.8 -
2．在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）发布：2024/12/29 13:0:1组卷：265引用：7难度：0.9 -
3．已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），证明：．x1•x2＞e2发布：2024/12/29 13:30:1组卷：144引用：2难度：0.2
