随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2-a1，η=b2-b1．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C，C表示C的对立事件，判断P（C）和P（C）的大小关系，并说明理由．
C
C
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【答案】（1）随机变量ξ的分布列为：
ξ的数学期望E（ξ）=；
（2）当n=2时，；当n⩾3时，；
（3）当n=2时，；当n⩾3时，．
理由如下：
等价于，即，
下面用数学归纳法证明（*）式，
1）当n=3时，（*）式左边=16，右边=20，（*）式成立；
2）假设 n=m 时成立 （m⩾3）．所以，
所以
=
=
=
所以n=m+1时（*）式成立，
综上，对于任意正整数n，n⩾3，（*）式均成立，
所以当n=2时，；当n⩾3时，．
| ξ | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 1 5 |
3 10 |
3 10 |
1 5 |
7
2
（2）当n=2时，
P
（
C
）
=
2
3
P
（
C
）
=
2
（
2
+
n
-
2
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
C
n
2
n
（3）当n=2时，
P
（
C
）
=
2
3
＞
1
3
=
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
理由如下：
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
1
2
4
（
2
+
n
-
2
∑
k
C
k
2
k
）
＜
C
n
2
n
（
*
）
下面用数学归纳法证明（*）式，
1）当n=3时，（*）式左边=16，右边=20，（*）式成立；
2）假设 n=m 时成立 （m⩾3）．所以
4
（
2
+
m
-
2
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
＜
C
m
2
m
所以
4
（
2
+
m
-
1
∑
k
=
1
C
k
2
k
）
＜
C
m
2
m
+
4
C
m
-
1
2
m
-
2
=
（
2
m
）
!
（
m
!
）
2
+
4
×
（
2
m
-
2
）
!
（
m
-
1
）
!
×
（
m
-
1
）
!
=
（
2
m
-
2
）
!
×
2
m
×
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
m
+
1
）
!
×
（
m
+
1
）
!
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
2
m
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
2
m
+
2
）
（
2
m
+
1
）
×
2
m
×
（
2
m
-
1
）
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
（
4
m
-
1
）
×
（
m
+
1
）
2
（
2
m
+
1
）
（
2
m
-
1
）
=
C
m
+
1
2
m
+
2
×
4
m
2
+
3
m
-
1
8
m
2
-
2
＜
（
m
+
1
）
所以n=m+1时（*）式成立，
综上，对于任意正整数n，n⩾3，（*）式均成立，
所以当n=2时，
P
（
C
）
=
2
3
＞
1
3
=
P
（
C
）
P
（
C
）
＜
P
（
C
）
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：879引用：8难度：0.1
相似题
-
1．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求获得复赛资格的人数；
（Ⅱ）从初赛得分在区间（110，150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间（110，130]与（130，150]各抽取多少人？
（Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间（130，150]中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．发布：2024/12/29 13:30:1组卷：133引用：7难度：0.5 -
2．设离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y=-3X+1，且E（X）=3，则（ ）X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 发布：2024/12/29 13:0:1组卷：196引用：6难度：0.5 -
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E（X）为（ ）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：137引用：6难度：0.7
