在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为2，且与直线x-

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y+2=0相切
（1）求圆C的方程
（2）在圆C上，是否存在点M（m,n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB面积；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆的位置关系．

【答案】（1）（x-2）²+y²=4．
（2）存在，理由：假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，
则有（m-2）²+n²=4．
n²=4-（m-2）²=4m-m²，且0≤m≤4，
又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离d==＜1，
解得，
∵|AB|=2，
∴S_△OAB==
==，
∵，∴当时，S_△OAB有最大值，最大面积为，
此时n=．
∴存在点M（，），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积取最大值．