在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f（x）=x2+4x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．
【考点】圆的标准方程；二次函数的性质与图象．
【答案】（1）b＜4且b≠0．
（2）x2+y2+4x-（b+1）y+b=0．
（3）经过定点；圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为++4x0-y0+b（1-y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜4（b≠0）的b都成立，必须有1-y0=0，结合（*）式得++4x0-y0=0，解得
或
经检验知，（-4，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（-4，1）和（0，1）．
（2）x2+y2+4x-（b+1）y+b=0．
（3）经过定点；圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为
x
2
0
y
2
0
为使（*）式对所有满足b＜4（b≠0）的b都成立，必须有1-y0=0，结合（*）式得
x
2
0
y
2
0
x 0 = 0 |
y 0 = 1 |
x 0 = - 4 |
y 0 = 1 |
经检验知，（-4，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（-4，1）和（0，1）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/14 6:0:3组卷：80引用：2难度：0.9
