在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y=x2-mx+2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（1）存在，；
（2）设过AB两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0，
将点C（0，2m）代入可得E=-1-2m，
∴过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-mx-（1+2m）y+2m=0，
整理得x2+y2-y-m（x+2y-2）=0，
令
，可得
，
故过A，B，C三点的圆过定点．
（
x
+
1
4
）
2
+
y
2
=
17
16
（2）设过AB两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0，
将点C（0，2m）代入可得E=-1-2m，
∴过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-mx-（1+2m）y+2m=0，
整理得x2+y2-y-m（x+2y-2）=0，
令
x 2 + y 2 - y = 0 |
x + 2 y - 2 = 0 |
x = 0 |
y = 1 |
或
x = 2 5 |
y = 4 5 |
故过A，B，C三点的圆过定点
（
0
，
1
）
或
（
2
5
，
4
5
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：131引用：2难度：0.5
