如图1-1，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当点P在线段AO上运动时，请用含t的式子表示线段OE的长度，并求出OE长度的最大值；
（3）如图1-2，在点P开始运动的同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，连接DQ．
①将△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，当点C恰好落在抛物线的对称轴上时，求出此时的t值；
②如图1-3，连接DE，在P，Q运动过程中，是否存在使△DPE与△DCQ相似的t值，若存在，请直接写出t值，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；
（2）OE=-t2+t，线段OE的长有最大值；
（3）①存在t=；
②t=1或3或．
（2）OE=-t2+
3
2
9
16
（3）①存在t=
4
3
3
②t=1或3或
3
+
137
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/3 8:0:1组卷：117引用：1难度：0.2
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1．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：611引用：5难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于点A（-3，0），点B（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以A、O、M、N为顶点为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：920引用：3难度：0.2 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m.是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 10:0:1组卷：3750引用：13难度：0.4
