已知双曲线x24-y22=1．
（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程．
（2）是否存在直线L，使N（1，12）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由．
x
2
4
-
y
2
2
1
2
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】解：（1）y=x+；
（2）假设存在直线l，使N（1，）为l被双曲线所截弦的中点．
则设弦CD的C、D两点的坐标为（x3，y3），（x4，y4），
则-2=4，-2=4，
相减可得，（x3-x4）（x3+x4）=2（y3-y4）（y3+y4）
由N为CD的中点，则x3+x4=2，y3+y4=1，
则k==1，
则直线CD的方程为：y-=x-1，即y=x-，
代入双曲线方程x2-2y2=4，可得，x2-2x+=0，
由于判别式为4-9＜0，则该直线l不存在．
1
2
1
2
（2）假设存在直线l，使N（1，
1
2
则设弦CD的C、D两点的坐标为（x3，y3），（x4，y4），
则
x
2
3
y
2
3
x
2
4
y
2
4
相减可得，（x3-x4）（x3+x4）=2（y3-y4）（y3+y4）
由N为CD的中点，则x3+x4=2，y3+y4=1，
则k=
y
3
-
y
4
x
3
-
x
4
则直线CD的方程为：y-
1
2
1
2
代入双曲线方程x2-2y2=4，可得，x2-2x+
9
4
由于判别式为4-9＜0，则该直线l不存在．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：747引用：4难度：0.1
