综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=32，与y轴交于点C，连接BC，直线BC的表达式为y=-12x+2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点M（0，-1），在线段BC上有一动点E，连接ME并延长，交抛物线于点N，使得EN=12ME，求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使得∠OBP+∠OBC=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
x
=
3
2
y
=
-
1
2
x
+
2
EN
=
1
2
ME
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x+2；
（2）E（，）或（2，1）；
（3）存在，点P的坐标为（0，-）或（0，）．
1
2
3
2
（2）E（
2
3
5
3
（3）存在，点P的坐标为（0，-
4
3
4
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/30 8:0:9组卷：160引用：1难度：0.4
相似题
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1．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C的，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴是否存在一点E，使得△BCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 15:0:1组卷：156引用：2难度：0.3 -
2．如图，直线y=-x+12图象交x轴于点A，交y轴于点C，点A，点C在抛物线y=ax2+bx+b-a的图象上．P点是线段OA上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线和直线AC于点M，N两点．72
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当△MCN恰好是以MN为斜边的直角三角形时，求此时点M的坐标；
（3）x轴上方的对称轴上有一动点E，平面上是否存在一点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下，将线段PA绕着点P逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），得到线段PQ．试探究线段PM上是否存在一个定点D（不与P、M重合），无论PQ如何旋转，的值始终保持不变．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．DQMQ发布：2025/5/24 15:0:1组卷：101引用：1难度：0.2 -
3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，若OB=OC=2OA．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接BP，平面内存在点D，连接CD，使CD∥BP，CD=BP，连接CP、DB，设P的横坐标为t,点D的横坐标为d,求d与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线AC于点E，连接EO，作DF∥y轴交EO的延长线于点F，交x轴于点G，点Q为抛物线第二象限上一点，连接FA、FQ、BQ，∠AEO=∠BEO，∠QFA=2∠QBA，求线段FQ的长．发布：2025/5/24 15:0:1组卷：233引用：1难度：0.1
