一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分．设每次击鼓出现音乐的概率为p（0＜p＜25），且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；
（2）以（1）中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1，及随机变量X的期望EX；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
p
（
0
＜
p
＜
2
5
）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【答案】（1）；
（2），；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能值为-300，50，100，150，
∴P（ξ=-300）=（1-p）3，；；P（ξ=150）=p3，
∴=，
令，则，
所以g（p）在单调递增；∴g（p）＜g（）=-＜0，
即有EX＜0，
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：
经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
1
3
（2）
19
27
19
9
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能值为-300，50，100，150，
∴P（ξ=-300）=（1-p）3，
P
（
ξ
=
50
）
=
C
1
3
p
（
1
-
p
）
2
P
（
ξ
=
100
）
=
C
2
3
p
2
（
1
-
p
）
∴
EX
=
-
300
（
1
-
p
）
3
+
50
C
1
3
p
（
1
-
p
）
2
+
100
C
2
3
p
2
（
1
-
p
）
+
150
p
3
300
（
p
3
-
3
p
2
+
7
2
p
-
1
）
令
g
（
p
）
=
p
3
-
3
p
2
+
7
2
p
-
1
g
′
（
p
）
=
3
p
2
-
6
p
+
7
2
=
3
（
p
-
1
）
2
+
1
2
＞
0
所以g（p）在
（
0
，
2
5
）
2
5
2
125
即有EX＜0，
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：
经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/15 1:0:2组卷：459引用：6难度：0.5
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