综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线F：y=ax2+bx+3的图象交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线F的函数表达式；
（2）点P是线段OB上的一个动点，沿OB以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作EP⊥x轴，交抛物线于点E，交直线BC于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，MC=ME？
（3）将抛物线F沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到抛物线F′，顶点为D，若点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）3-；
（3）存在，（0，）或（0，）或（0，5）或（0，-12）．
（2）3-
2
（3）存在，（0，
1
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13
2
1
-
13
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/4 8:0:9组卷：53引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图，已知过坐标原点的抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）两点，抛物线的顶点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线在第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 2:30:1组卷：44引用：1难度：0.1 -
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F在第一象限运动时，连接线段AF，BF，CF，S△ABF=S1，S△CBF=S2，且S=S1+S2．当S取最大值时，求点F的坐标；
（3）过点F作FE⊥x轴交直线BC于点D，交x轴于点E，若∠FCD+∠ACO=45°，求点F的坐标．
发布：2025/5/23 3:0:1组卷：458引用：3难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）如图1，求b、c的值；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线y=-x2+bx+c上一点，直线AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t,△ADC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，E是直线BC上一点，∠EPD=45°，△ADC的面积S为，求E点坐标．54
发布：2025/5/23 3:0:1组卷：205引用：1难度：0.1
