如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=-1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
y
=
4
3
x
+
4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；（2）（-1.5，5）；（3）存在，，．
y
=
-
4
3
x
2
-
8
3
x
+
4
P
（
-
1
，
18
3
）
Q
（
-
2
，
19
8
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/21 8:0:9组卷：676引用：6难度：0.5
相似题
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1．如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连接CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连接CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m=时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；54
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连接CH，若CH=CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是．发布：2025/5/23 18:30:2组卷：403引用：3难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-5与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+4ax+c经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且BD=AC，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．2
发布：2025/5/23 18:30:2组卷：700引用：2难度：0.3 -
3．二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，连接PC、PE、CE．当S△CPE=2S△CPO，求点P的坐标．
发布：2025/5/23 18:30:2组卷：244引用：1难度：0.7
