在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M（圆心M在第Ⅰ象限）与x轴正半轴交于点A（2，0），弦OA将圆M截得两段圆弧的长度比为1：5．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点B是直线l：3x+y+23=0上的动点，BC、BD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形BCMD面积的最小值；
（3）若过点M且垂直于y轴的直线与圆M交于点E、F，点P为直线x=5上的动点，直线PE、PF与圆M的另一个交点分别为G、H（GH与EF不重合），求证：直线GH过定点．
3
3
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明：设点P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），
由题意知：E（-1，），F（），
∴，kPF==kFH．
∴kPF=3kPE，
∴，①
∵点G、H在圆M上，∴将和代入①整理得：
2x1x2-7（x1+x2）+20=0，②
当斜率k存在时，设直线GH的方程为y=kx+b，
联立
，得．
，．
代入②整理得：．
∴，解得b=或b=．
当b=时，直线GH的方程为y=k（x-2）+，过定点（2，）；
当b=时，直线GH的方程为y=k（x-5）+，过定点（5，）．
∵GH与EF不重合，∴点（5，）不合题意．
当斜率k不存在时，
联立
，解得G（2，2），H（2，0）．
∴点（2，）适合．
综上，直线GH过定点（2，）．
（
x
-
1
）
2
+
（
y
-
3
）
2
=
4
（2）
4
2
（3）证明：设点P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），
由题意知：E（-1，
3
3
，
3
∴
k
PE
=
y
0
-
3
6
=
y
1
-
3
x
1
+
1
=
k
GE
y
0
-
3
2
=
y
2
-
3
x
2
-
3
∴kPF=3kPE，
∴
（
y
2
-
3
）
2
（
x
2
-
3
）
2
=
9
×
（
y
1
-
3
）
2
（
x
1
+
1
）
2
∵点G、H在圆M上，∴将
（
y
1
-
3
）
2
=
4
-
（
x
1
-
1
）
2
（
y
2
-
3
）
2
=
4
-
（
x
2
-
1
）
2
2x1x2-7（x1+x2）+20=0，②
当斜率k存在时，设直线GH的方程为y=kx+b，
联立
y = kx + b |
（ x - 1 ） 2 + （ y - 3 ） 2 = 4 |
（
1
+
k
2
）
x
2
+
（
2
kb
-
2
3
k
-
2
）
x
+
b
2
-
2
3
b
=
0
x
1
+
x
2
=
-
2
kb
-
2
3
k
-
2
1
+
k
2
x
1
x
2
=
b
2
-
2
3
b
1
+
k
2
代入②整理得：
b
2
+
（
7
k
-
2
3
）
b
+
10
k
2
-
7
3
k
+
3
=
0
∴
（
b
+
2
k
-
3
）
（
b
+
5
k
-
3
）
=
0
3
-
2
k
3
-
5
k
当b=
3
-
2
k
3
3
当b=
3
-
5
k
3
3
∵GH与EF不重合，∴点（5，
3
当斜率k不存在时，
联立
x = 2 |
（ x - 1 ） 2 + （ y - 3 ） 2 = 4 |
3
∴点（2，
3
综上，直线GH过定点（2，
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/8 15:0:9组卷：615引用：4难度：0.1
