近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数X服从几何分布，事件发生的概率p即为几何分布的参数，记作X～G（p）．几何分布有如下性质：分布列为P（X=k）=（1-p）k-1p,k=1，2，…，n,…，期望E（X）=+∞∑k=1k（1-p）k-1•p=1p．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．
（1）现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．
①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；
②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为Y，求Y的期望；
（2）若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．
E
（
X
）
=
+
∞
∑
k
=
1
k
（
1
-
p
）
k
-
1
•
p
=
1
p
【答案】（1）①；②；
（2）乙店，理由：
由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为18×4=72元，
设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为Zi，
从第一次购买到i-1种不同款式的文具开始，到第一次购买到i种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量Zi，
则，其中i=1，2，3，4，而Z=Z1+Z2+Z3+Z4，
∴，
∴在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为12E（Z）=100＞72，
故应该去乙店购买非盲盒文具．
3
4
7
3
（2）乙店，理由：
由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为18×4=72元，
设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为Zi，
从第一次购买到i-1种不同款式的文具开始，到第一次购买到i种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量Zi，
则
Z
i
～
G
（
5
-
i
4
）
∴
E
（
Z
）
=
E
（
Z
1
+
Z
2
+
Z
3
+
Z
4
）
=
4
∑
i
=
1
E
（
Z
i
）
=
4
∑
i
=
1
4
5
-
i
=
1
+
4
3
+
2
+
4
=
25
3
∴在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为12E（Z）=100＞72，
故应该去乙店购买非盲盒文具．
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/30 10:0:2组卷：142引用：4难度：0.5
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