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已知焦点在y轴的椭圆C上、下焦点分别是F₁，F₂，且长轴长为4，离心率为
3
2
，直线y=mx+1与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求m的值；
（3）已知真命题：“如果点P（x₀，y₀）在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上，那么过点P的椭圆的切线方程为
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．”利用上述结论，解答下面问题：
若点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的PF₁，PF₂斜率分别为k₁，k₂．若k≠0，试证明k（k₁+k₂）为定值，并求出这个定值．

【答案】见试题解答内容

【解答】

【点评】

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发布：2024/11/7 8:0:2组卷：75引用：1难度：0.1

相似题

1．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
2．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：104引用：1难度：0.9
解析
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
解析

2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．