解答下列问题：
（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是

ˆ

ABC

的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是

ˆ

ABC

的中点，∴

ˆ

MA

=

ˆ

MC

，
∴MA=MC①，
又∵∠A=∠C②，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG，
即CD=DB+BA，
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①

相等的弧所对的弦相等

相等的弧所对的弦相等

，
②

同弧所对的圆周角相等

同弧所对的圆周角相等

．
（2）【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=8，BC=12，点M是

ˆ

ABC

的中点，MD⊥BC于点D，则BD的长为

2

2

．
（3）【变式探究】如图3，若点M是

ˆ

AC

的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半径为10，求AD长．
​