平面直角坐标系中，点D（2，4），C（-3，9）在抛物线y=ax2+bx上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线y=-x+2与抛物线y=ax2+bx交于点M和N，连接OM和ON，直接写出∠MON的正切值；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线y=ax2+bx上的一点（点P与点O不重合），当△PMN的面积与△OMN的面积相等时，求出点P的坐标；
（4）如图2，已知点A（3，0），B（1，0），抛物线y=ax2+bx向左或向右平移后，点C、D的对应点分别为C′、D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2；
（2）3；
（3）点P的坐标为：（，）或（，）或（-1，1）；
（4）顶点坐标为（，0）．
（2）3；
（3）点P的坐标为：（
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（4）顶点坐标为（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/5 8:0:9组卷：325引用：1难度：0.3
相似题
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1．抛物线y=ax2+bx-3过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
（3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过P点作PF⊥BC，交BC于F点，△PEF的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标；若不存在，说明理由．
发布：2025/5/25 1:30:1组卷：619引用：2难度：0.3 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；经过点A的直线与y轴正半轴交于点E，与抛物线的另一个交点为D（4，3），其中OA=2．
（1）求此抛物线及直线的解析式；
（2）若点P是直线上方抛物线上的一个动点，当△AEP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．发布：2025/5/25 1:30:1组卷：146引用：1难度：0.2 -
3．如图，抛物线y=-
x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．12
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．
（3）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；DEEB
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，请直接写出点D的坐标．发布：2025/5/25 1:30:1组卷：371引用：2难度：0.3
