如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：
| 消费金额（单位：百元） | [0，5] | （5，10] | （10，15] | （15，20] | （20，25] | （25，30] |
| 频数 | 20 | 35 | 25 | 10 | 5 | 5 |
（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
1
2
①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，{Pn-Pn-1}是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9973．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；数列的应用．
【答案】（1）E（X）=16.372．
（2）①棋子开始在第0格为必然事件，P0=1．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即．
棋子移到第n（2≤n≤59）格的情况是下列两种，而且也只有两种：
（ⅰ）棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为；
（ⅱ）棋子先到第n-1格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当1≤n≤59时，数列{Pn-Pn-1}是首项，公比为的等比数列．
②由①知，
以上各式相加，得，
所以=．
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为．，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
（2）①棋子开始在第0格为必然事件，P0=1．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为
1
2
P
1
=
1
2
棋子移到第n（2≤n≤59）格的情况是下列两种，而且也只有两种：
（ⅰ）棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为
1
2
P
n
-
2
（ⅱ）棋子先到第n-1格，又掷出正面，其概率为
1
2
P
n
-
1
所以
P
n
=
1
2
P
n
-
2
+
1
2
P
n
-
1
即
P
n
-
P
n
-
1
=
-
1
2
（
P
n
-
1
-
P
n
-
2
）
P
1
-
P
0
=
-
1
2
所以当1≤n≤59时，数列{Pn-Pn-1}是首项
P
1
-
P
0
=
-
1
2
-
1
2
②由①知
P
1
-
1
=
-
1
2
，
P
2
-
P
1
=
（
-
1
2
）
2
，
P
3
-
P
2
=
（
-
1
2
）
3
，…，
P
n
-
P
n
-
1
=
（
-
1
2
）
n
以上各式相加，得
P
n
-
1
=
（
-
1
2
）
+
（
-
1
2
）
2
+
…
+
（
-
1
2
）
n
所以
P
n
=
1
+
（
-
1
2
）
+
（
-
1
2
）
2
+
…
+
（
-
1
2
）
n
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
n
+
1
]
（
n
=
0
，
1
，
2
，…，
59
）
所以闯关成功的概率为
P
59
=
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
60
]
=
2
3
[
1
-
（
1
2
）
60
]
闯关失败的概率为
P
60
=
1
2
P
58
=
1
2
×
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
59
]
=
1
3
[
1
+
（
1
2
）
59
]
P
59
-
P
60
=
2
3
[
1
-
（
1
2
）
60
]
-
1
3
[
1
+
（
1
2
）
59
]
=
1
3
[
1
-
（
1
2
）
58
]
＞
0
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
【解答】
【点评】
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