已知函数f（x）=x（1-alnx），a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈（0，12]时，都有f（x）＜1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若有不相等的两个正实数x1，x2满足1+lnx21+lnx1=x2x1，证明：x1+x2＜ex1x2．
x
∈
（
0
，
1
2
]
1
+
ln
x
2
1
+
ln
x
1
=
x
2
x
1
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【答案】（Ⅰ）当a＞0时，f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增；（Ⅱ）a＜；（Ⅲ）证明见解析．
e
1
-
a
a
e
1
-
a
a
e
1
-
a
a
e
1
-
a
a
1
ln
2
【解答】
【点评】
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