已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆的方程是x2+y2=a2+b2，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线l1与l2，求证：l1⊥l2．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）证明：设P（x0，y0），若过点P的切线斜率都存在，设其方程为y-y0=k（x-x0），
由
得，，
∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，，
整理得，
∵椭圆C的两条切线的斜率分别为k1，k2，由韦达定理，，
∵点P在圆O上，∴，即，
∴，
∴l1⊥l2，
特别的，若过点P的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为l1，
则l1的方程为x=±2，l2的方程为，∴l1⊥l2，
综上，对任意满足题设的点P，都有l1⊥l2．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）证明：设P（x0，y0），若过点P的切线斜率都存在，设其方程为y-y0=k（x-x0），
由
y - y 0 = k （ x - x 0 ） |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
（
1
+
2
k
2
）
x
2
+
4
k
（
y
0
-
k
x
0
）
x
+
2
（
k
x
0
-
y
0
）
2
-
4
=
0
∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，
[
4
k
（
y
0
-
k
x
0
）
]
2
-
4
（
1
+
2
k
2
）
[
2
（
k
x
0
-
y
0
）
2
-
4
]
=
0
整理得
（
4
-
x
2
0
）
k
2
+
2
x
0
y
0
k
+
2
-
y
0
2
=
0
∵椭圆C的两条切线的斜率分别为k1，k2，由韦达定理，
k
1
•
k
2
=
2
-
y
0
2
4
-
x
2
0
∵点P在圆O上，∴
x
2
0
+
y
0
2
=
6
y
0
2
=
6
-
x
2
0
∴
k
1
•
k
2
=
2
-
y
0
2
4
-
x
2
0
=
2
-
（
6
-
x
2
0
）
4
-
x
2
0
=
-
4
+
x
2
0
4
-
x
2
0
=
-
1
∴l1⊥l2，
特别的，若过点P的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为l1，
则l1的方程为x=±2，l2的方程为
y
=±
2
综上，对任意满足题设的点P，都有l1⊥l2．
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/14 4:0:1组卷：122引用：5难度：0.5
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