椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
10
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化为3+4k2＞m2．
∴，．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD•kBD=-1，∴，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴．
化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，．
，且满足3+4k2-m2＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-时，l：y=k，直线过定点．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化为3+4k2＞m2．
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
mk
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
mk
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD•kBD=-1，∴
y
1
x
1
-
2
•
y
2
x
2
-
2
=
-
1
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
+
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
+
16
mk
3
+
4
k
2
+
4
=
0
化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，
m
2
=
-
2
k
7
，且满足3+4k2-m2＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-
2
k
7
（
x
-
2
7
）
（
2
7
，
0
）
综上可知，直线l过定点，定点坐标为
（
2
7
，
0
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2262引用：38难度：0.1
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